miércoles, 15 de diciembre de 2010

Algunos ejercicios de Algebra

Aquí hay ejercicios algebraicos para practicar.Después de hacer el ejercicio pulsa el botón mostrar para que veas el resultado.

$(3x-3)(3x+3)$

$(3x-3) - (3x+3)$

$(10x^2 - x^3)^2$

$\dfrac{20x^2y-30xy^2+25x^2y^2+70x^3y^3}{25x^2y^2}$

$(24x-72X^2+80x^3)(9x^{-1})$

$(7x^3+4xy-12y^3)(2x-2y)$

$(94xy+72x^2y-9xy^2) + (12xy-9xy^2)$

$\dfrac{54p^2q-72pq^2+90p^2q^2}{9pq}$

$(5x^2-1)^3$

$(72x+2y^2)(-52x+2y^2)$

miércoles, 9 de junio de 2010

$f(x)=\left\{\begin{array}{lclcl} kx^2 & 0 \leq x \le 3 \\&&\\ k(5-x) & 3 \leq x \leq 5 \\&&\\ 0 & e.o.c \end{array}$

$\int_3^5 5-x \: dx = \int_3^5 5 \: dx - \int_3^5 x \: dx$

$5* [x]_3^5$

$5*[5-3]-[(\frac{5^2}{2})-(\frac{3^2}{2})] &=& 5*2 -[(\frac{25}{2})-(\frac{9}{2})] &=& 10 - \frac{16}{2} &=& 10 - 8 &=& 2$

$\begin{eqnarray} y=\sqrt[n]{x} & \Longrightarrow & y^n=x \\ & \Longrightarrow & n\log \,y=\log \,x, \; \mbox{si}\; x \ge 0,\; y \ge 0\\ & \Longrightarrow & \log \sqrt[n]{x}={1 \over n}\log \,x \end{eqnarray}$

$\begin{array}{lcl} [5]*[5-3]-[(\frac{5^2}{2})-(\frac{3^2}{2})] &=& 5*2 -[(\frac{25}{2})-(\frac{9}{2})] \\&&\\ & = & 10 - \frac{16}{2} \\&&\\ & = & 10-8 \\&&\\ & = & 2 \end{array}$

Ibeth: Breve Explicación sobre Integrales

Una integral es un "objeto matemático avanzado" que sirve para conocer el área bajo una función tomando como referencia el eje "X" con determinados "límites de integración".

$\int_0^2} f(x) dx$

Como puedes ver los límites de integración en el caso anterior son 0 y 2.

Como saber el valor del cálculo integral

Haciendo memoria recordé que una de las expresiones algebraicas era 5-X esto es una línea recta que pasa por los puntos (5,0) y (0,5) [Ve la imagen los puntos en rojo].
Entonces si estamos integrando desde el punto azul (3,0) hasta el punto rojo (5,0) esto forma un triángulo [En la imagen la región rallada]. La base del triángulo es 2 (desde 3 a 5) y la altura también (desde el punto azul hasta el punto amarillo) Por lo tanto el área tiene que ser 2.

Si le das clic a la imágen puedes verla mejor

Funcion de Densidad 1

Integrando

Primero te recuerdo la fórmula que usamos para integrar.

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

Observa que la integral anterior no tiene límites de integración, así se denomina integral indefinida y el resultado tiene una constante C.

Ahora aquí están los pasos para integrar la función
$f(x)=5-x$

Separamos la "resta" en dos integrales con los mismos límites
$\int_3^5 5-x \: dx = \int_3^5 5 \: dx - \int_3^5 x \: dx$
Las constantes se pueden "sacar" de las integrales
(el caso del 5)
$\int_3^5 5 \: dx - \int_3^5 x \: dx &=& 5*\int_3^5 \: dx - \int_3^5 x \: dx$
Aplicamos la fórmula a cada integral
$5*\int_3^5 \: dx - \int_3^5 x \: dx &=& 5* [x]_3^5 - [\frac{x^2}{2}]_3^5$
Evaluamos los límites de integración
Observa como al límite superior se le resta el límite inferior
$5* [x]_3^5 - [\frac{x^2}{2}]_3^5 &=& 5*[5-3]-[(\frac{5^2}{2})-(\frac{3^2}{2})]$
Realizamos las operaciones. Hay que tener cuidado con los signos jejeje
El resultado es 2 y esto ya lo sabíamos según el área sombreada
$\begin{array}{lcl} [5]*[5-3]-[(\frac{5^2}{2})-(\frac{3^2}{2})] &=& 5*2 -[(\frac{25}{2})-(\frac{9}{2})] \\&&\\ & = & 10 - \frac{16}{2} \\&&\\ & = & 10-8 \\&&\\ & = & 2 \end{array}$

Manzanitas

Espero hayan sido suficientes "manzanitas" cualquier cosa mándame tus dudas. Ya sea que escribas aquí comentarios, me las mandes por correo o nos veamos por Messenger. Saludos

domingo, 21 de febrero de 2010

una derivada

Funcion original

$\frac{5*x}{4}+\sqrt{9+(8-x)^2 }$

1ra derivada

$5/4-\frac{8-x}{\sqrt{9+(8-x)^2 }}$

derivando

Lo expreso de esta manera: (regla de los exponentes, la raiz es 1/2 y luego la "subo" multiplicando con el signo negativo

$5/4-(8-x)(9+(8-x)^2)^{-\frac{1}{2}}$

Ahora bien: Uso la formula del producto d(uv) = udv + vdu (el 5/4 no me preocupa pq su derivada es 0)

$u=(8-x)$

$v=(9+(8-x)^2)^{-\frac{1}{2}}$

Entonces:

$du=-1$

$dv=(-1/2)((9+(8-x)^2)^{-\frac{3}{2}})(2)(8-x)(-1)$

reduciendo:
$dv=(8-x)(9+(8-x)^2)^{-\frac{3}{2}}$

Aplico la fórmula anterior: (recuerda que entre 5/4 y el resto hay un signo negativo)

$-((8-x)(8-x)(9+(8-x)^2)^{-\frac{3}{2}}+((9+(8-x)^2)^{-\frac{1}{2}})(-1))$

Al reducir queda:

2da derivada

$-\frac{(8-x)^2}{(9+(8-x)^2)^\frac{3}{2}}+\frac{1}{\sqrt{9+(8-x)^2}}$

domingo, 14 de febrero de 2010

Multiplicando

En particular le defino la multiplicación a mis alumnos como una suma abreviada. Les dicto su significado de esta forma "es sumar cierta cantidad de veces el mismo sumando".

En cambio encontré lo siguiente:
"...quienes opinan que la multiplicación es una operación más compleja que la adición, que integra a ésta, pero que es más amplia y abstracta…" La construcción del Lenguaje matemático; Manuel Alcalá (2002, pag.34).

Aún así, puedo preguntar a los alumnos "¿En qué parte de su vida cotidiana hay una multiplicación?" O les asigno la tarea de "escribir un problema que deba ser resuelto con una multiplicación". En muchos casos no pueden contestar de marear correcta, por increíble que parezca inclusive a nivel de preparatoria; pero las respuestas correctas, en su mayoría, rondan por el pago de rentas o el recibir un sueldo. Estos mismos ejemplos son los que utilizo en el caso de que no puedan contestar de manera adecuada.

Entiendan lo que les pregunto.
Una vez definida la multiplicación, hay ocasiones en que escribo una en el pizarrón y digo lo siguiente, ya sea a un alumno en particular o al salón en general:
"Por favor. Díganme que significa esta operación no cuanto es"

$5x4 = 5+5+5+5=4+4+4+4+4$

Este ejercicio me ha resultado muy útil como herramienta de aprendizaje. Tanto para que los alumnos entiendan la multiplicación, así como para entender el carácter conmutativo de la misma.

¿Operaciones Inversas?
Después de definir la multiplicación; defino la división de la siguiente manera: "Es partir o repartir en partes iguales". En general hacemos un paréntesis para poder trabajar un rato con fracciones en estos tres rubros:

Forma Decimal. Dividir el numerador entre el denominador. Punto decimal.
Representación Gráfica. Usando rectángulos. Aprovechando los cuadros del cuaderno.
Ubicación "exacta" en la recta real. Aprovechando los cuadros del cuaderno.Denominador común y fracciones equivalentes para poder ubicar 2 fracciones distintas, de forma exacta, en la recta.

La idea es poder ubicar a los alumnos en que las fracciones y las divisiones son una misma operación.

Una vez que se "cierra" este paréntesis, hago el comentario sobre si en realidad el significado de la multiplicación y la división las hace operaciones inversas. Si la multiplicación es una suma abreviada entonces ¿la división tiene algo que ver con la resta?
La siguiente división tiene como residuo (sobrante) 3. Por tal la fracción 3/4 hace la igualdad

$\frac{27}{4}&=&6 + \frac{3}{4}$

Veamos lo siguiente:

$27-4&=&23$

$23-4&=&19$

$19-4&=&15$

$15-4&=&11$

$11-4&=&7$

$7-4&=&3$

Se puede apreciar que al 27 le restamos 6 veces el 4, que es el resultado de la división anterior y además al final nos quedó 3.

Multiplicando por 5
Ahora bien, muchos profesores tienen como meta o prioridad el cálculo aritmético. Cierto es que actualmente hasta el reloj de pulsera tiene una calculadora integrada y otros dispositivos, originalmente de comunicación (celulares) ya cuentan hasta con calculadora científica.

En lo personal me gustan los trucos. Sabemos que:

$435*5&=&2,175$

Realizemos los siguientes pasos:

Tomando el número distinto a 5, en este caso el 435, le agregamos un 0. Queda; 4,350
Dividimos el nuevo número entre 2. Es decir; 2,175
Los resultados son los mismos.

Lo que estoy haciendo es lo siguiente. 5 es el resultado de dividir 10 entre 2. Entonces sustituyo esto en la multiplicación original

$435*\frac{10}{2}&=&2,175$

Lo que voy a hacer ahora es primero multiplicar por 10 que es tan sencillo como agregar un cero (Paso 1) y después divido entre 2.
¡ Voila. el resultado!

lunes, 1 de febrero de 2010

Calculando cuadrados

Les escribo un par de trucos para calcular cuadrados. El primero de ellos es bastante simple y útil.
En cuanto a los otros dos son para poder calcular las cosas un tanto más rápido a falta de calculadora.

Cuadrados de números que terminan en 5

Este truco es útil para números de dos dígitos; aunque puede aplicarse a cualquier número que termina en 5.

$15^2=225$

Para calcular un cuadrado lo que tenemos que hacer es multiplicar el número por sí mismo (15 x 15 en este caso)

En lugar de eso vamos a hacer lo siguiente:

Nos fijamos en la base. En el ejemplo 15
Quitamos el 5. Nos queda sólo el 1.
¿Qué número le sigue al 1? El 2.
Multiplicamos 1x2= 2
Ahora le agregamos al resultado anterior 25.
Total: 225

Vamos a repetir los pasos para otros 2 números.

$35^2=1,225$

35
3
4
3x4=12
Agregar 25
Total: 1,225

$95^2=9,025$

95
9
10
9x10=90
Agregamos 25
Total: 9,025

Como pueden ver es bien sencillo.

La potencia es un Producto Notable

Sabemos que la fórmula algebraica para un binomio al cuadrado es:

$(x+y) ^2=x^2+2xy+y^2$

Ahora bien si queremos obtener cuadrado de 39 hacemos lo siguiente:

Descompongo el número en una suma o resta. De tal forma que uno de los sumandos o el minuendo termine en 0 o en 5. En este caso 39 = 40 -1
Ahora aplicamos la fórmula del binomio
$(40-1)^2=40^2-2(40)(1)+1^2$
Hacemos cada parte de la fórmula:
$40^2=1,600$
$2(40)(1)=80$
$1^2=1$
Sumamos o restamos: 1600 – 80 + 1 = 1,521.

Probemos con otro número

$56^2=3,136$

56 = 55 + 1
$(55+1)^2=55^2+2(55)(1)+1^2$
(Este cuadrado es sencillo gracias al truco anterior)
$55^2=3,025$
$2(55)(1)=110$
$1^2=1$
3,025 + 110 + 1 =3,136

Calcular esto mentalmente puede requerir bastante habilidad; pero reduce el cálculo con lápiz.

Sumando impares

Algo que se deriva del truco anterior y que puede llegar a convertirse en una forma más sencilla de calcular cualquier cuadrado de forma mental es la siguiente:

Pero antes una nota. Veamos los resultados de los primeros 5 cuadrados

$1^2=1$ , $2^2=4$ , $3^2=9$ , $4^2=16$ , $5^2=25$