Ecuaciones de segundo grado resueltas por factorización

Introducción

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.

Una ecuación se considera de segundo grado si el mayor de los exponentes es dos. 

Ejemplo:

Resolver una ecuación es “encontrar el valor o valores de la x – u otra  variable correspondiente – que hacen la ecuación verdadera.

Una factorización es convertir un valor o una expresión algebraica en una multiplicación.

Análisis de una ecuación cuadrática.

TODAS las ecuaciones cuadráticas están representadas por la siguiente forma a esta se le donomina forma o ecuación general.

En donde:

·        A, B y C son coeficientes. Valores constantes.

·        La ecuación está igualada a 0.

·        Ax² es el término cuadrático. A siempre es distinto de 0.

·        Bx es el término lineal.

·        C es el término independiente.

·        Su gráfica es una parábola.

·        La “sólución”  de una ecuación cuadrática son los puntos en donde la gráfica cruza al eje x,eje horizontal.
En el caso siguiente las soluciones son x=1 y x=3.

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·        Puede ser que sólo tenga una solución.
En el siguiente caso x=0 es la única solución.

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·        Puede no tener solución; entonces no se puede factorizar.
El siguiente caso no tiene solución.

·  Otro método para resolver ecuaciones cuadráticas es mediante el uso de la fórmula general.

Procedimiento para factorizar.

Este método se utiliza cuando la ecuación cuadrática tiene todos su términos, es decir, ninguno de sus coeficientes, ni A ni B ni C, son ceros.

Normalmente se pide también que A=1. Aunque existen varias formas de convertir el coeficiente A en uno, como los valores B y C son afectados es probable que se vuelvan coeficientes fraccionarios lo cual complica este método, por lo cual se deberá eliguir mejor otro método de solución.

A continuación muestro unos ejemplos para enumerar los pasos de este procedimiento.

Ejemplo 1: (con A=1)

 1.     Se escribe la ecuación en forma general.

La ecuación DEBE estar igualada a 0.

2.     Se obtiene la raíz cuadrada del primer término.
Al resultado se le denomina término común.

3.     Se buscan 2 números tales que el resultado de su multiplicación sea el término independiente, en este caso -6 y su suma sea el coeficiente del término lineal, en este ejemplo 5.[1]

Escrito en álgebra: ab = -6 y a+b=5

4.     Se rescribe el trinomio como una multiplicación de binomios con término común (x) y en cada uno de los binomios uno de los números encontrados en el paso anterior.

5.     Ahora bien como tenemos 2 expresiones que al multiplicarse dan cero eso sólo pasa si alguna de las dos expresiones es cero; por lo tanto podemos separar cada uno de los binomios anteriores igualados a cero y despejamos
para encontrar los valores de x.

Esto quiere decir que la parábola cruza el eje x en los puntos x = -6 y x = 1 Además que ambos resultados hacen que la igualdad en la ecuación se cumpla:

Método analítico para encontrar “los dos números”.

Los números que necesitamos para factorizar la ecuación del ejemplo 1 se comentaron sin explicar el cómo se encontraron. A continuación se expone una forma analítica de encontrar dichos números.

En dicho ejemplo 1 se necesita encontrar 2 números que cumplan lo siguiente:

Se buscan 2 números tales que el resultado de su multiplicación sea el término independiente, en este caso -6 y su suma sea el coeficiente del término lineal, en este ejemplo 5.

Escrito en álgebra: ab = -6 y a+b=5

Para poder encontrar dichos números se factoriza el número 6:

Ahora escribimos TODAS las factorizaciones del 6 con sólo dos números, lo mas sencillo es empezar en 1 e ir aumentando el valor:

En este caso tenemos 2 factorizaciones posibles y resulta que al restar 6 – 1 = 5 que es el valor que se necesita para el término lineal (a + b = 5); por lo tanto, los números necesarios para factorizar son:

---

[1] Muchos profesores y hasta algunos libros indican que los números se deben hallar “al tanteó”. Esto puede ser sencillo en algunos casos o sólo sencillo para quienes tienen formación o facilidad matemática.

Límites al infinito de funciones racionales.

Introducción

Para este caso usamos las funciones racionales, donde la función racional es una división de polinomios de grado "n".

El grado de un polinomio es el mayor de sus exponentes.

Para empezar veremos un "truco" para saber, mediante inspección, cual es el resultado del límite. Dicho truco sólo funciona para este caso específico.

Luego se hará el procedimiento para llegar a la solución ya de antemano encontrada.

Finalmente dejo unos ejercicios para que los realicen.

Determinar el resultado mediante inspección.

Para realizar lo anterior debemos observar el grado de cada uno de los polinomios para encontrar el resultado según la siguiente tabla:

Observar que A es el coeficiente de los término de mayor exponente en el numerador y B el coeficiente del mayor exponente en el denominador.

Procedimiento para llegar al resultado.

Aunque se conoce de antemano el resultado, siguiendo la tabla anterior, normalmente para un examen o tarea debemos realizar un procedimiento con la finalidad de indicar al profesor como hemos llegado a dicho valor resultante.

La técnica o método usado para este caso es el de dividir cada uno de los términos entre la potencia mayor, sin importar si se encuentra en el numerador o en el denominador.

A continuación se muestra el procedimiento para cada uno de los ejemplos anteriores. 

Para este procedimiento necesitamos conocer el siguiente resultado:

Ejemplo 1:

Utilizando los criterios de la tabla anterior, el resultado de este límite es infinito. Para demostrar cómo se llega a dicho resultado seguimos los pasos siguientes:

1. Se divide cada término entre la potencia mayor.

2. Se reduce cada división algebraica.

3. Aplicamos el límite usando la igualdad a la que se hizo referencia. 

 4. Entonces se demuestra que el resultado del límite es infinito.

Learning how to learn

I recently took a course online named: “Learning how to learn”. As a final test I need to prove what I learn teaching others three major ideas covered in that course and this is my contribution:

Mind Modes

One of the first things the course teaches is that are two types of thinking: the focused mind and the diffused mind.

In the first mode the mind is concentrated in a task or activity and in the second the mind is relaxed, at peace.

You may thing that the focused mode is the best one to study and, consequently, to learn but you are half mistaken. Yes the focused mode is great to study or to really inspect something but is the alternation between the two mind modes or ways of thinking the best path to an effective learning.

The first step in learn is to focus your attention in the subject you want to learn, no you are not a super hero if you can do several things at the same time, in fact you only are getting small parts of the thing you want to learn or maybe not a part at all. You need pay attention!

But the process to learn is based in the diffused mode: here you construct the long lasting ideas, concepts and grasp the understanding of the object of learning.

Remember what happened to Archimedes when he discovers the principle with his name:

The Roman Emperor has Archimedes about a gift he receives, some tales says is a crow others a scepter, at the end the Emperor was to know is the object was pure gold or not. At first Archimedes, as others scientist of his time, don’t put much effort in the matter, but that displeases the Emperor which arrest the scientist and torture him. Then Archimedes became obsessed to find the answer, for obvious reasons, he didn’t eat, barely sleep, he was in full focused mode to the task!!!...but can’t find the answer and the time frame the Emperor give him was nearly over.

The wife of Archimedes was worried, again obviously, she didn’t want her husband tortured again but Archimedes was now an older man and the effort can make him ill or worse. She convince him to go to the baths, communal houses with pools of water to bath, she argue he need relaxation but the smell was a more appealing one.

He go to the bath house, some say he surrender to the idea he will not find the answer, but with his mind at easy, in diffuse mode, he discover some amazing thru: The water in the pool gets out when he gets in. His mind help him to find the answer, yes everyone knows two bodies can have the same space, maybe in that time not everyone, well maybe neither now, moreover almost all can see the water coming out of a pool but not everyone knows is exactly the same volume that the body entering the pool.

Even if the tale has some historical errors, like the object, this not matter much because the material, in this case gold, is the important one. Archimedes proves the object was not gold.

Memory Capacity

The memory is a big part of the learning process but is not the central one. As the mind we have two principal types of memory: Short term memory and long term memory. The first one is referred in the online course as the working memory.

I discover some papers online that mention a third kind of memory: Sensory memory. But in here we are going to discuss about the Working and the Long term memory.

The easy way to understand the types of memories is comparing with something more familiar or at least more east to imagine:

In the case of the working memory imagine a work table with four sits: A person can sit un one spot an “work”, then another came and takes another sit, if three more persons came to work one of them must stand by to get a sit. Similar is the working memory, it only can have certain number of things at the same time, when a new one came need to release space to work with it. Again imagine the table with people working they can have a record of his work; this translates in passing the object of the work to the long term memory.

The long term memory is then as a storehouse, or a hard drive for the young, in there you can storage all the information, concepts, ideas or work you do and if needed retrieve it.

And here is a question: If I have an excellent memory then I’m smart? I can learn or know all?

Well an excellent memory is a good first step in learning as I write before but you need to understand the concepts you have in the long term memory, how to use it in solving problems or simply in a conversation, moreover if you can teach others about it then with some certainty degree you really know THAT concept in THAT situation.

Here is another question: How I improve my memory?

Well if you count I wrote several times the types of memory we have: working memory and long term memory. Yes repetition is a good way to remember something but a lot in short time is not very good is a lot better use something called “spaced repetition”. 

This is an example: You study Monday and Tuesday takes a rest Wednesday again Tuesday rest Friday Saturday and Sunday (this are good to a party time!) and then start over Monday.

Other good way of remember things is imagine it: If you want to tell others the history about Archimedes I wrote before try to imagine all the things: The Emperor wearing the crown or holding the scepter; Archimedes arrested and tortured, they burn his hands, his precious hands; his smell, after days of working, entering the pool and the water coming out of it; then he leaves the bath house, naked, screaming “EUREKA!, EUREKA!” (I did it) and arrested again for nudity!!

The Art of Procrastinate

  No you are not mistaken, you really feel “pain” when you know you need to work or study or make homework. This, somehow, is wired in the brain: Is better do something else. And yes again procrastinate is an art, a modern art, because you check email, facebook, whatsapp or worst you play with the xbox, the smartphone, the “samarthTV” and do nothing!

One method to avoid this is the “pomodoro technique”, in short: You need to work for 25 min uninterrupted then relax 5 min, do this 2 more times because in the for time you earn a 30 min relax time!!

In this way the mind can jump from a focused 25 minutes to a 5 diffuse minutes. As I previously wrote the alternation in minds helps to effectively learn. Moreover this method helps to improve the time management.

Final Thoughts

  Some advice to learn:

·         Eat well, you spend a lot of energy learning.

·         Sleep is very important, not only to relax, again for the expense of energy, because the brain recovers, clean the toxins it accumulates during the day.

·         Physical exercises, is a great way to enter the diffuse mode.

·         Remember the space repetition.

·         No matter which technique you uses to avoid procrastinate  you need to BELIVE it works and then it will.

·         Have fun learning!! 

Retos matemáticos

Viernes 4 de Marzo de 2011.

Después de hacer el ejercicio pulsa el botón mostrar (aunque voy a dejar pasar unos días antes de escribir la solución) para que veas el resultado.

Un profesor ordena a sus 20 alumnos en una fila y les reparte 800 dulces. Cada estudiante tiene que calcular $$ \frac{x}{x+2k-1}$$ donde x es el número de dulces que recibió y k es el número de su posición en la fila. Si todos obtuvieron el mismo resultado ¿Cuantos dulces recibió el estudiante de la posición 12?
Sea $$ x_k $$ el número de dulces que recibió el estudiante en la posición k Entonces $$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + ... + x_{20} = 800$$ Llamemos M al valor de la razón, es decir, $$ M = \frac{x}{x+2k-1}$$ Despejamos $$ x_k $$ en: $$ M = \frac{x_k}{x_{k}+2k-1}$$ $$ M (x_{k}+2k-1) = x_k$$ $$ M (x_{k})+ M(2k-1) = x_k$$ $$ M (x_k)-x_k = - M(2k-1)$$ $$ x_k(M-1) = - M(2k-1)$$ $$x_k = \frac{- M(2k-1)} {M-1}$$ $$ x_k = (2k-1)\frac{M} {1-M} $$ Ahora bien $$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + ... + x_{20} = $$ $$ \displaystyle\sum_{k=1}^{20}(2k-1)\frac{M} {1-M} = $$ $$ \frac{M}{1-M} (1+3+5+7+...+39) $$ Tomando en cuenta que la suma de los primeros n impares es igual a $$ n^2 $$ entonces $$ \frac{M}{1-M} (1+3+5+7+...+39) = \frac{M}{1-M} 20^2 = 400\frac{M}{1-M} $$ Dado lo anterior podemos calcular $$ 800 = 400\frac{M}{1-M}$$ $$ \frac{M}{1-M} = 2 $$ Por lo tanto el doceavo estudiante recibió $$ x_{12}= (2(12)-1)(2) = 46 $$

Algunos ejercicios de Algebra

Aquí hay ejercicios algebraicos para practicar.Después de hacer el ejercicio pulsa el botón mostrar para que veas el resultado.

• $(3x-3)(3x+3)$
  
Lo anterior es un producto notable: Binomios Conjugados $ (3x-3)(3x+3)= (3x)^2 - (3)^2 = 9x^2 - 9 $

• $(3x-3) - (3x+3)$
Lo anterior es una resta: Hay que cambiar el signo de cada término en el segundo binomio $(3x-3) - (3x+3) = 3x-3-3x-3$ Acomodando términos semejantes $\underbrace{3x-3x}_{0}\underbrace{-3-3}_{-6} = -6$

• $(10x^2 - x^3)^2$
Lo anterior es un: Binomio al cuadrado Desarrollamos la fórmula $(10x^2 - x^3)^2 = (10x^2)^2 + 2(10x^2)(x^3) + (x^3)^2$ Se resuelve $100x^4 + 20x^5 + x^6$

• $\dfrac{20x^2y-30xy^2+25x^2y^2+70x^3y^3}{25x^2y^2}$
Lo anterior es una división: Polinomio de 4 términos ente un monomio Separando cada termino entre el monomio $\dfrac{20x^2y}{25x^2y^2}-\dfrac{30xy^2}{25x^2y^2} + \dfrac{25x^2y^2}{25x^2y^2}+\dfrac{70x^3y^3}{25x^2y^2} =$ ${\dfrac{4}{5} y^{-1}}-{\dfrac{6}{5} x^{-1}}+ {1} +{\dfrac{14}{5} x^1 y^1}=$ $\dfrac{4}{5y}-\dfrac{6}{5x} + {1} +\dfrac{14xy}{5}$

• $(24x-72X^2+80x^3)(9x^{-1})$
Lo anterior es una multiplicación: Se tiene que multiplicar cada término del polinomio por el monomio $(24x-72X^2+80x^3)(9x^{-1})= 216 - 648x + 720x^2$

• $(7x^3+4xy-12y^3)(2x-2y)$
Lo anterior es una multiplicación: Se tiene que multiplicar cada término del un polinomio por cada término del otro polinomio. Recuerda que (3)(2) = 6 es el número de términos que debemos obtener al multiplicar $14x^4 + 8x^2y - 24xy^3 - 14x^3y - 8xy^2 + 24y^4$

• $(94xy+72x^2y-9xy^2) + (12xy-9xy^2)$
Lo anterior es una suma: Quitamos los paréntesis y reducimos términos semejantes $94xy + 72x^2y - 9xy^2 + 12xy - 9xy^2 =$ $\underbrace{94xy+ 12xy}_{106xy} + 72x^2y \underbrace{- 9xy^2- 9xy^2}_{-18xy^2}=$ $106xy + 72x^2y - 18xy^2$

• $\dfrac{54p^2q-72pq^2+90p^2q^2}{9pq}$
Lo anterior es una división: Polinomio de 3 términos ente un monomio Separando cada termino entre el monomio ${54p^2q \over 9pq}-{72pq^2 \over 9pq}+{90p^2q^2 \over 9pq}=$ $6p - 8q + 10pq$

• $(5x^2-1)^3$
Lo anterior es un producto notable: Binomio al cubo Desarrollamos la fórmula. (Recuerda que debe tener 4 términos) $(5x^2-1)^3 = (5x^2)^3 - 3(5x^2)^2(1) + 3(5x^2)(1)^2 - 1^3$ Resolvemos las potencias. $125x^6 - 3(25x^4)(1) + 3(5x^2)(1) - 1 =$ Multiplicamos. $125x^6 - 75x^4 + 15x^2 - 1$

• $(72x+2y^2)(-52x+2y^2)$
Lo anterior es un producto notable: Binomios con término común Acomodamos los binomios. $(2y^2+72x)(2y^2-52x)$ Desarrollamos la fórmula. $(2y^2+72x)(2y^2-52x) = $ $(2y^2)^2 + (72x-52x)(2y^2) + (72x)(-52x) = $ $4y^4 + (20x)(2y^2) - 3744x^2 = 4y^4 + 40xy^2 - 3744x^2$

Ibeth: Breve Explicación sobre Integrales

Una integral es un "objeto matemático avanzado" que sirve para conocer el área bajo una función tomando como referencia el eje "X" con determinados "límites de integración".

Como puedes ver los límites de integración en el caso anterior son 0 y 2.

Como saber el valor del cálculo integral

Haciendo memoria recordé que una de las expresiones algebraicas era 5-X esto es una línea recta que pasa por los puntos (5,0) y (0,5) [Ve la imagen los puntos en rojo].
Entonces si estamos integrando desde el punto azul (3,0) hasta el punto rojo (5,0) esto forma un triángulo [En la imagen la región rallada]. La base del triángulo es 2 (desde 3 a 5) y la altura también (desde el punto azul hasta el punto amarillo) Por lo tanto el área tiene que ser 2.

Si le das clic a la imágen puedes verla mejor
 

Funcion de Densidad 1

Integrando

Primero te recuerdo la fórmula que usamos para integrar.

Observa que la integral anterior no tiene límites de integración, así se denomina integral indefinida y el resultado tiene una constante C.

Ahora aquí están los pasos para integrar la función

1. Separamos la "resta" en dos integrales con los mismos límites
   
   
2. Las constantes se pueden "sacar" de las integrales
   (el caso del 5)
   
   
3. Aplicamos la fórmula a cada integral
   
   
4. Evaluamos los límites de integración
   Observa como al límite superior se le resta el límite inferior
   
   
5. Realizamos las operaciones. Hay que tener cuidado con los signos jejeje
   El resultado es 2 y esto ya lo sabíamos según el área sombreada
   
   
   

Manzanitas

Espero hayan sido suficientes "manzanitas" cualquier cosa mándame tus dudas. Ya sea que escribas aquí comentarios, me las mandes por correo o nos veamos por Messenger. Saludos