Retos matemáticos

Viernes 4 de Marzo de 2011.

Después de hacer el ejercicio pulsa el botón mostrar (aunque voy a dejar pasar unos días antes de escribir la solución) para que veas el resultado.

Un profesor ordena a sus 20 alumnos en una fila y les reparte 800 dulces. Cada estudiante tiene que calcular $$ \frac{x}{x+2k-1}$$ donde x es el número de dulces que recibió y k es el número de su posición en la fila. Si todos obtuvieron el mismo resultado ¿Cuantos dulces recibió el estudiante de la posición 12?
Sea $$ x_k $$ el número de dulces que recibió el estudiante en la posición k Entonces $$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + ... + x_{20} = 800$$ Llamemos M al valor de la razón, es decir, $$ M = \frac{x}{x+2k-1}$$ Despejamos $$ x_k $$ en: $$ M = \frac{x_k}{x_{k}+2k-1}$$ $$ M (x_{k}+2k-1) = x_k$$ $$ M (x_{k})+ M(2k-1) = x_k$$ $$ M (x_k)-x_k = - M(2k-1)$$ $$ x_k(M-1) = - M(2k-1)$$ $$x_k = \frac{- M(2k-1)} {M-1}$$ $$ x_k = (2k-1)\frac{M} {1-M} $$ Ahora bien $$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + ... + x_{20} = $$ $$ \displaystyle\sum_{k=1}^{20}(2k-1)\frac{M} {1-M} = $$ $$ \frac{M}{1-M} (1+3+5+7+...+39) $$ Tomando en cuenta que la suma de los primeros n impares es igual a $$ n^2 $$ entonces $$ \frac{M}{1-M} (1+3+5+7+...+39) = \frac{M}{1-M} 20^2 = 400\frac{M}{1-M} $$ Dado lo anterior podemos calcular $$ 800 = 400\frac{M}{1-M}$$ $$ \frac{M}{1-M} = 2 $$ Por lo tanto el doceavo estudiante recibió $$ x_{12}= (2(12)-1)(2) = 46 $$