Ecuaciones de segundo grado resueltas por factorización

Introducción

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.

Una ecuación se considera de segundo grado si el mayor de los exponentes es dos. 

Ejemplo:

Resolver una ecuación es “encontrar el valor o valores de la x – u otra  variable correspondiente – que hacen la ecuación verdadera.

Una factorización es convertir un valor o una expresión algebraica en una multiplicación.

Análisis de una ecuación cuadrática.

TODAS las ecuaciones cuadráticas están representadas por la siguiente forma a esta se le donomina forma o ecuación general.

En donde:

·        A, B y C son coeficientes. Valores constantes.

·        La ecuación está igualada a 0.

·        Ax² es el término cuadrático. A siempre es distinto de 0.

·        Bx es el término lineal.

·        C es el término independiente.

·        Su gráfica es una parábola.

·        La “sólución”  de una ecuación cuadrática son los puntos en donde la gráfica cruza al eje x,eje horizontal.
En el caso siguiente las soluciones son x=1 y x=3.

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·        Puede ser que sólo tenga una solución.
En el siguiente caso x=0 es la única solución.

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·        Puede no tener solución; entonces no se puede factorizar.
El siguiente caso no tiene solución.

·  Otro método para resolver ecuaciones cuadráticas es mediante el uso de la fórmula general.

Procedimiento para factorizar.

Este método se utiliza cuando la ecuación cuadrática tiene todos su términos, es decir, ninguno de sus coeficientes, ni A ni B ni C, son ceros.

Normalmente se pide también que A=1. Aunque existen varias formas de convertir el coeficiente A en uno, como los valores B y C son afectados es probable que se vuelvan coeficientes fraccionarios lo cual complica este método, por lo cual se deberá eliguir mejor otro método de solución.

A continuación muestro unos ejemplos para enumerar los pasos de este procedimiento.

Ejemplo 1: (con A=1)

 1.     Se escribe la ecuación en forma general.

La ecuación DEBE estar igualada a 0.

2.     Se obtiene la raíz cuadrada del primer término.
Al resultado se le denomina término común.

3.     Se buscan 2 números tales que el resultado de su multiplicación sea el término independiente, en este caso -6 y su suma sea el coeficiente del término lineal, en este ejemplo 5.[1]

Escrito en álgebra: ab = -6 y a+b=5

4.     Se rescribe el trinomio como una multiplicación de binomios con término común (x) y en cada uno de los binomios uno de los números encontrados en el paso anterior.

5.     Ahora bien como tenemos 2 expresiones que al multiplicarse dan cero eso sólo pasa si alguna de las dos expresiones es cero; por lo tanto podemos separar cada uno de los binomios anteriores igualados a cero y despejamos
para encontrar los valores de x.

Esto quiere decir que la parábola cruza el eje x en los puntos x = -6 y x = 1 Además que ambos resultados hacen que la igualdad en la ecuación se cumpla:

Método analítico para encontrar “los dos números”.

Los números que necesitamos para factorizar la ecuación del ejemplo 1 se comentaron sin explicar el cómo se encontraron. A continuación se expone una forma analítica de encontrar dichos números.

En dicho ejemplo 1 se necesita encontrar 2 números que cumplan lo siguiente:

Se buscan 2 números tales que el resultado de su multiplicación sea el término independiente, en este caso -6 y su suma sea el coeficiente del término lineal, en este ejemplo 5.

Escrito en álgebra: ab = -6 y a+b=5

Para poder encontrar dichos números se factoriza el número 6:

Ahora escribimos TODAS las factorizaciones del 6 con sólo dos números, lo mas sencillo es empezar en 1 e ir aumentando el valor:

En este caso tenemos 2 factorizaciones posibles y resulta que al restar 6 – 1 = 5 que es el valor que se necesita para el término lineal (a + b = 5); por lo tanto, los números necesarios para factorizar son:

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[1] Muchos profesores y hasta algunos libros indican que los números se deben hallar “al tanteó”. Esto puede ser sencillo en algunos casos o sólo sencillo para quienes tienen formación o facilidad matemática.

Límites al infinito de funciones racionales.

Introducción

Para este caso usamos las funciones racionales, donde la función racional es una división de polinomios de grado "n".

El grado de un polinomio es el mayor de sus exponentes.

Para empezar veremos un "truco" para saber, mediante inspección, cual es el resultado del límite. Dicho truco sólo funciona para este caso específico.

Luego se hará el procedimiento para llegar a la solución ya de antemano encontrada.

Finalmente dejo unos ejercicios para que los realicen.

Determinar el resultado mediante inspección.

Para realizar lo anterior debemos observar el grado de cada uno de los polinomios para encontrar el resultado según la siguiente tabla:

Observar que A es el coeficiente de los término de mayor exponente en el numerador y B el coeficiente del mayor exponente en el denominador.

Procedimiento para llegar al resultado.

Aunque se conoce de antemano el resultado, siguiendo la tabla anterior, normalmente para un examen o tarea debemos realizar un procedimiento con la finalidad de indicar al profesor como hemos llegado a dicho valor resultante.

La técnica o método usado para este caso es el de dividir cada uno de los términos entre la potencia mayor, sin importar si se encuentra en el numerador o en el denominador.

A continuación se muestra el procedimiento para cada uno de los ejemplos anteriores. 

Para este procedimiento necesitamos conocer el siguiente resultado:

Ejemplo 1:

Utilizando los criterios de la tabla anterior, el resultado de este límite es infinito. Para demostrar cómo se llega a dicho resultado seguimos los pasos siguientes:

1. Se divide cada término entre la potencia mayor.

2. Se reduce cada división algebraica.

3. Aplicamos el límite usando la igualdad a la que se hizo referencia. 

 4. Entonces se demuestra que el resultado del límite es infinito.